日大工 総合教育 樋口幸治郎
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ロビタルの定理を学び, それを使って極限の計算を練習する(教科書p200-206).
定理 微分可能な関数$f(x),g(x)$について, $$\dfrac{f(a)}{g(a)}=\dfrac{0}{0}\qquad(不定形)$$ のとき, $$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ が成り立つ.
証明 コーシーの平均値の定理から $$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}\qquad({}^\exists cはaとxの間の数)$$ が成り立つ. $x\to a$ならば$c\to a$なので, $$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ となる.
例
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{2x^2-x-6}{x^3-8}
=\lim_{x\to 2}\dfrac{(2x^2-x-6)^\prime}{(x^3-8)^\prime}
=\lim_{x\to 2}\dfrac{4x-1}{3x^2}
=\dfrac{4\cdot 2-1}{3\cdot 2^2}
=\dfrac{7}{12}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}
=\lim_{x\to 0}\dfrac{\left(e^x-e^{-x}\right)^\prime}{(\sin x)^\prime}
=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x+e^{-x}}{\cos x}
=\dfrac{e^0+e^0}{\cos 0}
=2$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^2}
=\lim_{x\to 0}\dfrac{(x-\sin x)^\prime}{\left(x^2\right)^\prime}
=\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{2x}
=\lim_{x\to 0}\dfrac{(1-\cos x)^\prime}{(2x)^\prime}
=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{2}
=\dfrac{\sin 0}{2}
=0$
実はロピタルの定理は$\dfrac{0}{0}$の形の不定形でなくても, $$\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$$ の場合にも, 適用することができる. また, 考えている極限$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$の変数$x$の近く値は$\pm\infty$のときも適用することができることが知られている.
例
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x^2}
=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)}{2x}
=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{2x^2}
=\dfrac{1}{2\infty^2}=0$
$\displaystyle\lim_{x\searrow 0}\dfrac{\log x}{e^{\dfrac{1}{x}}}
=\lim_{x\searrow 0}\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)}{e^{\dfrac{1}{x}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)}
=\lim_{x\searrow 0}-\dfrac{x}{e^{\dfrac{1}{x}}}
=-\dfrac{0}{e^\infty}
=-\dfrac{0}{\infty}=0$
ロピタルの定理を利用して色々な極限を求める(教科書p46, p64, p65).
上の公式は$\sin x$の微分の公式を求めるときに用いたが, 逆に微分とロピタルの定理から上の公式が簡単に求まる. 何故なら, $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} =\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{1} =\lim_{x\to 0}\cos x =\cos 0 =1$$ だからである.
上の極限は教科書p64の演習問題Bのやや難しい問題として分類されている. しかし, ロピタルの定理を使えば簡単に求めることができる. 実際, $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x}{x} =\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{1-0^2}} =1$$ である.
定理 $$e=\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{\dfrac{1}{x}}$$ が成り立つ.
証明 見やすさのため, 関数$e^x$を $$\exp(x)$$ と書く. $$\exp(\log(x))=x\tag{1}$$だから, $$\begin{align} &\lim_{x\to 0}(1+x)^{\dfrac{1}{x}} \underset{(1)より}{=}\lim_{x\to 0}\exp\left(\log(1+x)^{\dfrac{1}{x}}\right) \underset{\logの性質}{=}\lim_{x\to 0}\exp\left(\dfrac{\log(1+x)}{x}\right)\\ \underset{\expの連続性}{=}&\exp\left(\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(1+x)}{x}\right) \underset{ロピタルの定理}{=}\exp\left(\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{1+x}\right) \underset{極限の計算}{=}\exp\left(\dfrac{1}{1+0}\right) =e \end{align}$$
ネピアの数の特徴付けで行ったように, 指数関数$\exp(x)(=e^x)$と対数関数$\log x$を用いて極限を計算すると, 簡単に求まることがある.
定理 指数型の極限 $$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}$$ について, $f(x)>0$であれば, $$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=\exp\left(\lim_{x\to a}g(x)\log f(x)\right)$$ と計算することができる.
例 1. $$\begin{align} &\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x =\exp\left(\lim_{x\to\infty}x\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right) =\exp\left(\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log(1+x)-\log x}{\dfrac{1}{x}}\right)\\ \underset{ロピタルの定理}{=}&\exp\left(\lim_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}}\right) =\exp\left(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{1+x}\right) \underset{ロピタルの定理}{=}\exp\left(\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{1}\right) =e \end{align}$$ 2. $$\begin{align} &\lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x =\exp\left(\lim_{x\to -\infty}x\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right) =\exp\left(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\log(1+x)-\log x}{\dfrac{1}{x}}\right)\\ \underset{ロピタルの定理}{=}&\exp\left(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}}\right) =\exp\left(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x}{1+x}\right) \underset{ロピタルの定理}{=}\exp\left(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{1}\right) =e \end{align}$$