日大工　総合教育　樋口幸治郎

工科系数学I及び演習(2017年度前期)

第15回　これまでのまとめ　＆　第16回　中間テスト

Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
言うなれば, 登りきった後には梯子を捨て去らなければならない.

--- Tractatus logico-philosophisuc Ludwig Wittgenstein
「論理哲学論考」より, ルートヴィッヒ・ヴィトゲンシュタイン

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これまでのまとめ

これまで学んだことをここにまとめる.

• 極限 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ の計算

($f(x)$が連続関数の合成(=代入)と四則演算で作られていれば)次のように計算する:

1. $x$の近づく値$a$を$f(x)$に代入した$f(a)$を計算
2. 不定形($\dfrac{0}{0},\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty},\pm\infty\cdot 0$など) が現れなければ, $f(a)$が極限値
3. 不定形が現れるなら, 関数$f(x)$を変形
4. 変形後の$g(x)$について, $g(a)$の計算し不定形が現れなければ$g(a)$が極限値, ダメなら3に戻りやり直し.

• 連続 $\displaystyle f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$

連続関数には次の性質がある:

• グラフに「飛び」がない
• 連続関数の和・差・積・商・合成(=代入)は連続関数
• 区間上で定義された連続関数について中間値の定理が成立

$a<b$と$f(a),f(b)$の間の任意の数$r$に対し, 方程式$f(x)=r$の解が開区間$(a,b)$に存在

• 微分　$\displaystyle f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

以下において$a$は定数, $f,g$は微分可能関数とする.

• 冪関数　$(x^a)^\prime=ax^{a-1}$
• 指数関数　$(e^x)^\prime=e^x,\qquad (a^x)^\prime=a^x\log a$
• 対数関数　$(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x},\qquad (\log|x|)^\prime=\dfrac{1}{x},\qquad (\log_a x)^\prime=\dfrac{1}{x\log a}$
• 定数倍　$(af)^\prime=af^\prime$
• 和・差　$(f\pm g)^\prime=f^\prime\pm g^\prime$
• 積　$(fg)^\prime=f^\prime g+ fg^\prime$
• 商・逆数　$\left(\dfrac{f}{g}\right)^\prime=\dfrac{f^\prime g- fg^\prime}{g^2},\qquad \left(\dfrac{1}{g}\right)^\prime=-\dfrac{g^\prime}{g^2}$
• 合成　$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x)) g(x)$
• 逆関数　$(f^{-1}(x))^\prime=\dfrac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))}$
• 対数微分法　$(\log f)^\prime=\dfrac{f^\prime}{f}$
• 初等関数の特徴

以下の関数は, それぞれの定義域上で, 微分可能な関数である. 従って, 連続関数でもある.

• 定数関数　$a$

グラフは水平線

• 1次関数　$ax+b$

グラフは直線, $a$は傾き, $b$は$y$切片

• 2次関数　$ax^2+bx+c\quad$(一般形),$\qquad a(x-p)^2+q\quad$(標準形),$\qquad a(x-s)(x-t)\quad$(分解形)

グラフは放物線, $a$が正/負なら下/上に凸, 頂点は$(p,q)\ \left(=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2}{4a}+c\right)\right)$, 2次関数の根は$s,t$$\left(=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)$

• 冪関数　$x^a$

一般には定義域は正の実数, $a$が正/負なら単調増加/減少

• 指数関数　$e^x\quad$(自然指数),$\qquad a^x\quad$($a\ne 1$)

定義域は実数全体, 値は常に正の実数, 下に凸, 底が$1$より大きい/小さいなら単調増加/減少

• 対数関数　$\log x\quad$(自然対数),$\qquad \log_a x\quad$($a\ne 1$)

定義域は正の実数, 底が$1$より大きい/小さいなら単調増加/減少

中間試験の範囲

微分の計算, 中間値の定理を使った問題, 初等関数についての問題が解けること.

• 微分の計算

p9-10, p42-43, p71-72の演習問題Aの微分の問題のうち(逆)三角関数を含まない問題が解けること.

• 中間値の定理を使った問題

p30-32での中間値の定理を用いた問題(p31のAの8(3)を除く)が解けること.

• 初等関数についての問題

教科書範囲外, 2次関数, 指数関数, 対数関数のグラフが描けること. 2次関数を変形する問題が解けること.

中間試験用公式集
中間試験勉強用プリント
解答