日大工　総合教育　樋口幸治郎

工科系数学I及び演習(2017年度前期)

第11,12回　指数・対数の微分

Nihil est sine ratione.
理なくしては何物もない.

--- Gottfried Wilhelm Leibniz
「Samuel Clarkeへの手紙」より　ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ

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指数関数と対数関数の微分

指数関数と対数関数の微分公式を導く. (教科書p66-69の範囲)

• 自然指数の微分

定理  $$(e^x)^\prime=e^x$$

証明  $$ (e^x)^\prime = \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h} = \lim_{h\to 0}\dfrac{e^xe^{h}-e^x}{h} = \lim_{h\to 0}e^x\cdot\dfrac{e^{h}-1}{h} = e^x\cdot\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h} = e^x\cdot \left.(e^x)^\prime\right|_{x=0} =e^x\cdot 1 =e^x $$

• 指数関数の微分

定理  $$(a^x)^\prime=a^x\log a$$

証明  $a=e^{\log a}$であるから, $$(a^x)^\prime =((e^{\log a})^x)^\prime =(e^{x\log a})^\prime \underset{合成関数の微分}{=}\left.(e^t)^\prime\right|_{t=x\log a}\cdot(x\log a)^\prime =e^{x\log a}\cdot\log a =a^x\log a $$

• 対数関数の微分

定理  $$(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x},\quad (\log_ax)^\prime=\dfrac{1}{x\log a}$$

証明  逆関数の微分公式から $$(\log x)^\prime=\left.\dfrac{1}{(e^t)^\prime}\right|_{t=\log x}=\dfrac{1}{e^{\log x}}=\dfrac{1}{x}$$ $$(\log_a x)^\prime=\left.\dfrac{1}{(a^t)^\prime}\right|_{t=\log_a x}=\dfrac{1}{a^{\log_a x}\log a}=\dfrac{1}{x\log a}$$

定理  $$(\log |x|)^\prime=\dfrac{1}{x}$$

証明  $x>0$のときは $$(\log |x|)^\prime=(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}$$ である. また, $x<0$のときも $$(\log |x|)^\prime=(\log(-x))^\prime=\dfrac{1}{-x}\cdot(-x)^\prime=\dfrac{1}{x}$$ である.

• 計算例

例  $(e^{2x})^\prime=e^{2x}\cdot(2x)^\prime=2e^{2x}$
$\big(3^x\big)^\prime=3^x\log 3$
$\big(10^{x^2}\big)^\prime=10^{x^2}\log 10\cdot(x^2)^\prime=2x10^{x^2}\log 10$
$\big((x^2+3x)e^{3x}\big)^\prime= (x^2+3x)^\prime\cdot e^{3x}+(x^2+3x)\cdot\left(e^{3x}\right)^\prime= (2x+3)e^{3x}+(x^2+3x)\cdot e^{3x}\cdot(3x)^\prime= (2x+3)e^{3x}+3(x^2+3x)e^{3x}= (3x^2+11x+3)e^{3x}$
$\left(\dfrac{e^{-x}-1}{e^x+1}\right)^\prime= \dfrac{(e^{-x}-1)^\prime\cdot(e^x+1)-(e^{-x}-1)\cdot(e^x+1)^\prime}{(e^x+1)^2}= \dfrac{e^{-x}\cdot(-x)^\prime\cdot(e^x+1)-(e^{-x}-1)e^x}{(e^x+1)^2}= \dfrac{-e^{-x}(e^x+1)-(e^{-x}-1)e^x}{(e^x+1)^2}= \dfrac{e^x-e^{-x}-2}{(e^x+1)^2}$
$\big(\log(2x+1)\big)^\prime=\dfrac{1}{2x+1}\cdot(2x+1)^\prime=\dfrac{2}{2x+1}$
$\left(\log\dfrac{x-1}{2x+3}\right)^\prime=\big(\log(x-1)-\log(2x+3)\big)^\prime= \dfrac{1}{x-1}\cdot(x-1)^\prime-\dfrac{1}{2x+3}\cdot(2x+3)^\prime= \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x+3}=\dfrac{5}{(x-1)(2x+3)}$

微分についての補足

冪関数の微分公式を導く. また, 高次導関数について学ぶ. (教科書p70,p96,p107-109)

• 冪関数の微分

定理  $$(x^r)^\prime=rx^{r-1}$$ が任意の実数$r$について成り立つ.

証明  $r$が有理数のときは既に示した. $r$が無理数のときを示す. このとき冪$x^r$が意味を成すのは$x$が正の実数のときだけで, さらに$x^r$も正の実数となる. 従って, $\log (x^r)$を考えることができる. 等式 $$\log (x^r)=r\log x$$ の両辺を微分すれば, 合成関数の微分公式より, $$\dfrac{1}{x^r}\cdot(x^r)^\prime=\dfrac{r}{x}$$ である. よって, $x^r$を両辺にかけて $$(x^r)^\prime=\dfrac{r}{x}\cdot x^r=rx^{r-1}$$ が得られる.

例  $(x)^\prime=1$
$(x^2)^\prime=2x$
$(x^3)^\prime=3x^2$
$(x^6)^\prime=6x^5$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)^\prime=(x^{-1})^\prime=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$
$\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^\prime=(x^{-2})^\prime=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}$
$\left(\dfrac{1}{x^5}\right)^\prime=-\dfrac{5}{x^6}$
$\left(\sqrt{x}\right)^\prime=(x^{\dfrac{1}{2}})^\prime=\dfrac{1}{2}x^{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\left(\sqrt[3]{x}\right)^\prime=(x^{\dfrac{1}{3}})^\prime=\dfrac{1}{3}x^{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
$\big(x^\pi\big)^\prime=\pi x^{\pi-1}$
$\big(x^e\big)^\prime=ex^{e-1}$

• 高次導関数

定義  関数$y=f(x)$が$n$回微分できるとき, 関数$y=f(x)$はn回微分可能であるという.

$n$回微分して得られる関数を関数$y=f(x)$の第n次導関数またはn回微分といい, $$y^{(n)},\quad f^{(n)},\quad f^{(n)}(x),\quad \dfrac{d^ny}{dx^n},\quad \dfrac{d^nf}{dx^n},\quad \dfrac{d^nf(x)}{dx^n}$$ などと書く.

$n$が小さいときには $$f^{(2)}(x)=f^{\prime\prime}(x),\quad y^{(3)}=y^{\prime\prime\prime}$$ などの表記も用いる. また, $$f^{(0)}(x)=f(x),\quad f^{(1)}(x)=f^\prime(x)$$ と定める.

例 1. $(e^x)^\prime=e^x,\quad (e^x)^{\prime\prime}=e^x,\quad (e^x)^{\prime\prime\prime}=e^x,\cdots$となり, $$(e^x)^{(n)}=e^x$$ である.
2. $(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x},\quad (\log x)^{\prime\prime}=-\dfrac{1}{x^2},\quad (\log x)^{\prime\prime\prime}=\dfrac{2}{x^3},\cdots$となり, $$(\log x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^{n}}$$ である. (但し$n\ge 1$とする)
3. $(x^r)^\prime=rx^{r-1},\quad (x^r)^{\prime\prime}=r(r-1)x^{r-2},\quad (x^{r})^{\prime\prime\prime}=r(r-1)(r-2)x^{r-3},\cdots$となり, $$(x^{r})^{(n)}=r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)x^{r-n}$$ である. (但し$n\ge 1$とする)

• 関数の冪級数展開

以下は高次導関数の発展的な話題である.

何回でも微分可能な関数の中には $$\begin{align} f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\ &=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots\quad(a_nは定数)\tag{1} \end{align}$$ という形で表すことのできる関数がある. このような関数を解析的関数(analytic function)という. このとき, 実は $$a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\qquad(n\ge 0)\tag{2}$$ と, 各係数$a_n$を高次導関数の値$f^{(n)}(0)$を用いて表すことができる.

(2)が成り立つ理由を説明しよう. (1)を$n$回微分すれば, $$f^{(n)}(x)=n!a_n+ _{n+1}P_na_{n+1}x+ _{n+2}P_na_{n+2}x^2+\cdots$$ である(ここで$_kP_n=k\cdot (k-1)\cdot(k-2)\cdot...\cdot(k-n+1)$である). $x=0$を代入すれば, $$f^{(n)}(0)=n!a_n$$ であるから, 両辺を$n!$で割れば(2)が得られる.

(1)に(2)を代入すれば, $$\begin{align} f(x)&=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\ &=f(0)+\dfrac{f^{\prime}(0)}{1!}x+\dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3+\cdots\tag{3} \end{align}$$ である.

例 $f(x)=e^x$とすると, $f^{(n)}(x)=e^x$であり, $x=0$のときは, $f^{(n)}(0)=e^0=1$である. (3)より, $$\begin{align} e^x&=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}x^n\\ &=1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\cdots \end{align}$$ である. これに$x=1$を代入すれば, $$\begin{align} e&=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}\\ &=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots \end{align}$$ となる. この式を使うと$e$の値$2.718281828...$を近似していくことができる.