日大工　総合教育　樋口幸治郎

工科系数学III(2017年度後期)

第8回　中間試験

前頁へ

次頁へ

これまでのまとめ

これまでの範囲で学んだ重要事項をまとめておこう.

• 不定積分

$\displaystyle\int f(x)dx\overset{定義}{=}$「微分が$f(x)$となる関数」$+$積分定数$C$

• 定積分

$\begin{align} \displaystyle\int^b_a f(x)dx&\overset{定義}{=}「aからbまでのf(x)の面積」\\ &\overset{基本公式}{=}\left[\int f(x)dx\right]^b_a \end{align}$

• 積分の線形性

$\displaystyle\int(\alpha f(x)\pm\beta g(x))dx\overset{線形性}{=}\alpha\int f(x)dx\pm\beta\int g(x)dx$
$\displaystyle\int^b_a(\alpha f(x)\pm\beta g(x))dx\overset{線形性}{=}\alpha\int^b_a f(x)dx\pm\beta\int^b_a g(x)dx$ ($\alpha,\beta$は定数)

• 置換積分法

$\begin{align}\displaystyle\int f(g(x))g^\prime(x)dx\overset{置換積分}{=}&\int f(g(x))d(g(x))\\ =&\left.\int f(t)dt\right|_{t=g(x)} \end{align}$
$\begin{align}\displaystyle\int^b_a f(g(x))g^\prime(x)dx\overset{置換積分}{=}&\int^b_a f(g(x))d(g(x))\\ =&\int^{g(b)}_{g(a)} f(t)dt\end{align}$

• 部分積分法

$\displaystyle\int g(x)dx=G(x)+C$のとき
$\displaystyle\int f(x)g(x)dx\overset{部分積分}{=}f(x)G(x)-\int f^\prime(x)G(x)dx$
$\displaystyle\int^b_a f(x)g(x)dx\overset{部分積分}{=}\left[f(x)G(x)\right]^b_a-\int^b_a f^\prime(x)G(x)dx$

• 基本的な不定積分

$\displaystyle\int x^adx=\begin{cases}\dfrac{1}{a+1}x^{a+1}+C & a\ne-1のとき\\ \log|x|+C & a=-1のとき\end{cases}$
$\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C$
$\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

中間試験

中間試験(30点満点)では以下のことを試験する.

1. 不定積分の意味が分かっており, 微分により検算ができるか?

2. 面積と定積分の関係が分かっているか?

3. 多項式を積分できるか?

4. 基本的な関数の積分を覚えているか?

5. 置換積分法で積分できるか?

6. 部分積分法で不定積分できるか?

中間試験勉強用プリント
解答