日大工 総合教育 樋口幸治郎
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$$難問をうまく単純化できる者は学問を制す$$
これは, 数学を学ぶときのコツでもある. 取り組んでいる問題が難しく見える時は, より単純な問題に帰着させることを考えてみよう.
数学では, このような単純化の常套手段に $$変数変換$$ がある. 今回(第4,5回)学ぶ置換積分法は, 変数変換による積分の計算法である(教科書p113-123,p153-159). $$合成(=代入)の微分公式\quad\overset{「約分」+「移行」}{\Longrightarrow}\quad不定積分の置換積分\quad\overset{基本公式}{\Longrightarrow}\quad定積分の置換積分$$
今回の話の基礎となる合成の微分公式を思い出しておこう.
合成の微分公式(p39[VII]) $$\left(f(g(x))\right)^\prime=f^\prime(g(x))g^\prime(x)$$ 又は, $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}$$
例. $$\left(\cos(2x+2)\right)^\prime=-\sin(2x+2)\cdot(2x+2)^\prime=-2\sin(2x+2)$$ $$\left(\log|x^2+1|\right)^\prime=\dfrac{1}{x^2+1}\cdot(x^2+1)^\prime=\dfrac{2x}{x^2+1}$$
今回使うことになる基本的な不定積分計算を復習しておこう.
関数$$t=g(x)$$について, 微分は $$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{d}{dx}g(x)=g^\prime(x)$$ であるが, (意味を考えず)形式的に両辺に$dx$を掛けて約分すると, 関係式 $$dt=d(g(x))=g^\prime(x)dx$$ が得られる(これを微分の関係式と呼ぶ). この関係式を念頭に置くと, 置換積分法の理解が容易い.
定理(p121の[I]) $$\int f(g(x))g^\prime(x)dx=\left.\int f(t)dt\right|_{t=g(x)}\tag{*}$$ $$\left(\int y\dfrac{dt}{dx}dx=\int ydtとも書く\right)$$ (*)は $$\begin{align} \int f(g(x))g^\prime(x)dx&\overset{微分の関係式}{=}\int f(g(x))d(g(x))\\ &\overset{変数変換}{=}\left.\int f(t)dt\right|_{t=g(x)} \end{align}$$ と覚えると良い.
証明. 合成関数の微分公式を変形していくと $$ \begin{align} &\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}\\ \underset{yに\int ydtを代入}{\Longrightarrow}& \dfrac{d}{dx}\int ydt=\left(\dfrac{d}{dt}\int ydt\right)\dfrac{dt}{dx}\\ \underset{「約分」}{\Longrightarrow}& \dfrac{d}{dx}\int ydt=y\dfrac{dt}{dx}\\ \underset{「移行」}{\Longrightarrow}& \int ydt=\int\left(y\dfrac{dt}{dx}\right)dx \end{align}$$
$\displaystyle\int x\sqrt{x+3}dx=?$
答. 置換積分法で計算する. $$\begin{align} &\int x\sqrt{x+3}dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int x\sqrt{x+3}d(x+3)\\ \underset{変数変換}{=}&\left.\int(t-3)\sqrt{t}dt\right|_{t=x+3}\\ \underset{書換え}{=}&\left.\int\left(t^{\frac{3}{2}}-3t^{\frac{1}{2}}\right)dt\right|_{t=x+3}\\ \underset{積分計算}{=}&\left.\dfrac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}-3\cdot\dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C\right|_{t=x+3}\quad(Cは積分定数)\\ \underset{xで書換え}{=}&\dfrac{2}{5}(x+3)^{\frac{5}{2}}-3\cdot\dfrac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}+C\quad(Cは積分定数)\\ \underset{計算}{=}&\dfrac{2}{5}(x+3)^{\frac{5}{2}}-2(x+3)^{\frac{3}{2}}+C\quad(Cは積分定数)\\ \end{align}$$ (慣れたら下から3行目は省略しよう.)
定理(p113の[II]) $$\int f(ax+b)dx=\int f(ax+b)\dfrac{1}{a}d(ax+b)=\dfrac{1}{a}\left.\int f(t)dt\right|_{t=ax+b}$$
(1) $\displaystyle\int(2x+1)^2dx=?$ (2) $\displaystyle\int(5-4x)^3dx=?$
答.
(1)
$$\begin{align}
&\int(2x+1)^2dx\\
\underset{微分の関係式から}{=}&\int(2x+1)^2\dfrac{1}{2}d(2x+1)\\
\underset{変数変換}{=}&\dfrac{1}{2}\left.\int t^2dt\right|_{t=2x+1}\\
=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}(2x+1)^3+C\quad(Cは積分定数)\\
=&\dfrac{1}{6}(2x+1)^3+C\quad(Cは積分定数)\\
\end{align}$$
(慣れたら3行目は省略して良い.)
(2)
$$\begin{align}
&\int(5-4x)^3dx\\
\underset{微分の関係式から}{=}&\int(5-4x)^3\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)d(5-4x)\\
\underset{変数変換}{=}&-\dfrac{1}{4}\left.\int t^3dt\right|_{t=5-4x}\\
=&-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}(5-4x)^4+C\quad(Cは積分定数)\\
=&-\dfrac{1}{16}(5-4x)^4+C\quad(Cは積分定数)\\
\end{align}$$
(慣れたら3行目は省略して良い.)
(1) $\displaystyle\int\dfrac{1}{(2x+3)^2}dx=?$ (2) $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx=?$ (3) $\displaystyle\int\dfrac{1}{3-x}dx=?$
答. (1) $$\begin{align} &\int\dfrac{1}{(2x+3)^2}dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\dfrac{1}{(2x+3)^2}\dfrac{1}{2}d(2x+3)\\ =&\dfrac{1}{2}\cdot\left(-(2x+3)^{-1}\right)+C\quad(Cは積分定数)\\ =&-\dfrac{1}{2(2x+3)}+C\quad(Cは積分定数)\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\int\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\dfrac{1}{3}d(3x+1)\\ \underset{変数変換}{=}&\dfrac{1}{3}\left.\int t^{-\frac{1}{2}}dt\right|_{t=3x+1}\\ =&\dfrac{1}{3}\cdot 2(3x+1)^{\frac{1}{2}}+C\quad(Cは積分定数)\\ =&\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C\quad(Cは積分定数)\\ \end{align}$$ (3) $$\begin{align} &\int\dfrac{1}{3-x}dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\dfrac{1}{3-x}\cdot(-1)d(3-x)\\ =&-\log|3-x|+C\quad(Cは積分定数)\\ \end{align}$$
$a,b$は定数で, $a\ne 0$とする. (1) $\displaystyle\int\cos(ax+b)dx=?$ (2) $\displaystyle\int\sin(ax+b)dx=?$
答. (1) $$\begin{align} &\int\cos(ax+b)dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\cos(ax+b)\dfrac{1}{a}d(ax+b)\\ =&\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\int\sin(ax+b)dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\sin(ax+b)\dfrac{1}{a}d(ax+b)\\ =&-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$
$a>0$は定数とする. (i) $\displaystyle\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx=?$ (ii) $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=?$
答. (1) $$\begin{align} &\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx\\ \underset{書換え}{=}&\int\dfrac{1}{a^2}\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\dfrac{1}{a^2}\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}\cdot a\cdot d\left(\dfrac{x}{a}\right)\\ =&\dfrac{1}{a}\arctan \dfrac{x}{a}+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx\\ \underset{書換え}{=}&\int\dfrac{1}{a}\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\dfrac{1}{a}\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}\cdot a\cdot d\left(\dfrac{x}{a}\right)\\ =&\arcsin \dfrac{x}{a}+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$
(i) $\displaystyle\int\dfrac{1}{x(1+\log x)}dx=?$ (ii) $\displaystyle\int\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}dx=?$
答. (1) $$\begin{align} &\int\dfrac{1}{x(1+\log x)}dx\\ \underset{書換え}{=}&\int\dfrac{1}{1+\log x}\cdot \dfrac{1}{x}dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\dfrac{1}{1+\log x}d(1+\log x)\\ =&\log|1+\log x|+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\int\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}dx\\ \underset{書換え}{=}&\int\dfrac{1}{(e^x)^2+1}\cdot e^xdx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\dfrac{1}{(e^x)^2+1}d(e^x)\\ =&\arctan e^x+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$
(1) $\displaystyle\int 3x^2(x^3+2)^4dx=?$ (2) $\displaystyle\int\tan xdx=?$
答. (1) $$\begin{align} &\int 3x^2(x^3+2)^4dx\\ \underset{書換え}{=}&\int (x^3+2)^4\cdot 3x^2dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&\int\dfrac{1}{(x^3+2)^4}d(x^3+2)\\ =&-\dfrac{1}{3}(x^3+2)^{-3}+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\int\tan xdx\\ \underset{三角関数の公式}{=}&\int\dfrac{\sin x}{\cos x}dx\\ \underset{書換え}{=}&\int -\dfrac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)dx\\ \underset{微分の関係式から}{=}&-\int\dfrac{1}{\cos x}d(\cos x)\\ =&-\log|\cos x|+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$
教科書p119-120のAの3,5-7, 及び, Bの中から6問以上を選択して解きなさい.
$$\begin{align} \int^b_af(x)dx & \overset{定義}{=} 「(aからbまでの)面積」 \\ & \overset{基本公式}{=} \left[\int f(x)dx\right]^b_a \end{align}$$
p170例題1. $f(x)=\dfrac{1}{x}$の$x=1$から$x=3$までの面積$S$は $$\begin{align} S&=\int^3_1\dfrac{1}{x}dx\\ &\underset{基本公式}{=}\left[\int\dfrac{1}{x}dx\right]^3_1\\ &\underset{計算}{=}\left[\log|x|\right]^3_1\\ &\underset{計算}{=}\log|3|-\log|1|\\ &\underset{計算}{=}\log 3\\ \end{align}$$
基本公式 $$\int^b_af(x)dx=\left[\int f(x)dx\right]^b_a$$ を用いて, 不定積分の置換積分法を定積分に「輸入」しよう.
定理 $$\int^b_af(g(x))g^\prime(x) dx=\int^{g(b)}_{g(a)}f(t)dt\tag{*}$$ $$\left(\int^{x(b)}_{x(a)} y\dfrac{dt}{dx}dx=\int^{t(b)}_{t(a)} ydt とも書く\right)$$ が成り立つ(不定積分の場合と違い, 最後の$t$から$x$への変数変換は不要). (*)を $$\begin{align} \int^b_af(g(x))g^\prime(x) dx&\overset{微分の関係式}{=}\int^{b}_{a}f(g(x))d(g(x))\\ &\overset{変数変換}{=}\int^{g(b)}_{g(a)}f(t)dt \end{align}$$ と覚えると良い(変数変換のときは積分範囲を変更!).
証明. 差の記号について, $$\Big[\cdot\Big]^{変数=値}_{変数=値}$$ と書くことで, どの変数に値を代入して差を取るのかを明確に表すことにしよう. $$\begin{align} &\int^b_af(g(x))g^\prime(x) dx\\ \underset{基本公式}{=}&\left[\int f(g(x))g^\prime(x) dx\right]^{x=b}_{x=a}\\ \underset{不定積分の置換積分}{=}&\left[\left.\int f(t)dt\right|_{t=g(x)}\right]^{x=b}_{x=a}\\ \underset{差の記号の性質}{=}&\left[\int f(t)dt\right]^{t=g(b)}_{t=g(a)}\\ \underset{基本公式}{=}&\int^{g(b)}_{g(a)}f(t)dt \end{align}$$
(2) $\displaystyle\int^4_1\dfrac{1}{2x+1}dx=?$ (3) $\displaystyle\int^2_{-2}\sqrt{5-2x}dx=?$ (4) $\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_0\sin 2xdx=?$ (5) $\displaystyle\int^1_0e^{3x}dx=?$
答. 変数変換する場合, しない場合の2種類の答えを以下に書く. (2) $$\begin{align} &\int^4_1\dfrac{1}{2x+1}dx&\\ \underset{微分の関係式}{=}&\int^4_1\dfrac{1}{2x+1}\dfrac{1}{2}d(2x+1)&\\ \underset{変数変換}{=}&\dfrac{1}{2}\int^9_3\dfrac{1}{t}dt &\left(又は \underset{基本公式}{=}\dfrac{1}{2}\left[\int\dfrac{1}{2x+1}d(2x+1)\right]^4_1\right)\\ \underset{基本公式}{=}&\dfrac{1}{2}\Big[\log|t|\Big]^9_3 &\left(=\dfrac{1}{2}\Big[\log|2x+1|\Big]^4_1\right)\\ \underset{計算}{=}&\dfrac{1}{2}\log 3 &\left(=\dfrac{1}{2}\log 3\right)\\ \end{align}$$ (3) $$\begin{align} &\int^2_{-2}\sqrt{5-2x}dx&\\ \underset{微分の関係式}{=}&\int^2_{-2}\sqrt{5-2x}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)d(5-2x)&\\ \underset{変数変換}{=}&-\dfrac{1}{2}\int^1_{9}\sqrt{t}dt &\left(又は \underset{基本公式}{=}-\dfrac{1}{2}\left[\int\sqrt{5-2x}d(5-2x)\right]^2_{-2}\right)\\ \underset{基本公式}{=}&-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]^1_{9} &\left(=-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{2}{3}(5-2x)^{\frac{3}{2}}\right]^2_{-2}\right)\\ \underset{計算}{=}&-\dfrac{26}{3} &\left(=-\dfrac{26}{3}\right)\\ \end{align}$$ (4) $$\begin{align} &\int^{\frac{\pi}{4}}_0\sin 2xdx&\\ \underset{微分の関係式}{=}&\int^{\frac{\pi}{4}}_0\sin 2x\cdot\dfrac{1}{2}d(2x)&\\ \underset{変数変換}{=}&\dfrac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin tdt &\left(又は \underset{基本公式}{=}\dfrac{1}{2}\left[\int\sin 2xd(2x)\right]^{\frac{\pi}{4}}_0\right)\\ \underset{基本公式}{=}&\dfrac{1}{2}\Big[-\cos t\Big]^{\frac{\pi}{2}}_0 &\left(=\dfrac{1}{2}\Big[-\cos 2x\Big]^{\frac{\pi}{4}}_0\right)\\ \underset{計算}{=}&\dfrac{1}{2} &\left(=\dfrac{1}{2}\right)\\ \end{align}$$ (5) $$\begin{align} &\int^1_0e^{3x}dx&\\ \underset{微分の関係式}{=}&\int^1_0e^{3x}\cdot\dfrac{1}{3}d(3x)&\\ \underset{変数変換}{=}&\dfrac{1}{3}\int^3_0e^{t}dt &\left(又は \underset{基本公式}{=}\dfrac{1}{3}\left[\int e^{3x}d(3x)\right]^1_0\right)\\ \underset{基本公式}{=}&\dfrac{1}{3}\Big[e^t\Big]^3_0 &\left(=\dfrac{1}{3}\Big[e^{3x}\Big]^1_0\right)\\ \underset{計算}{=}&\dfrac{1}{3}(e^3-1) &\left(=\dfrac{1}{3}(e^3-1)\right)\\ \end{align}$$
$\displaystyle\int^2_{-1}\dfrac{x-1}{x^2-2x+3}dx=?$
答. $$\begin{align} &\int^2_{-1}\dfrac{x-1}{x^2-2x+3}dx&\\ \underset{微分の関係式}{=}&\int^2_{-1}\dfrac{x-1}{x^2-2x+3}\dfrac{1}{2x-2}d(x^2-2x+3)&\\ \underset{書換え}{=}&\int^2_{-1}\dfrac{1}{x^2-2x+3}\dfrac{1}{2}d(x^2-2x+3)&\\ \underset{変数変換}{=}&\dfrac{1}{2}\int^3_6\dfrac{1}{t}dt &\left(又は \underset{基本公式}{=}\dfrac{1}{2}\left[\int\dfrac{1}{x^2-2x+3}d(x^2-2x+3)\right]^2_{-1}\right)\\ \underset{基本公式}{=}&\dfrac{1}{2}\Big[\log|t|\Big]^3_6 &\left(=\dfrac{1}{2}\Big[\log|x^2-2x+3|\Big]^2_{-1}\right)\\ \underset{計算}{=}&-\dfrac{1}{2}\log 2 &\left(=-\dfrac{1}{2}\log 2\right)\\ \end{align}$$
(1) $\displaystyle\int^2_0x\sqrt{2-x}dx$ (2) $\displaystyle\int^3_0\sqrt{9-x^2}dx$
答. (1) この問題は変数変換なしに解くのは見にくくなってしまうので, 変数変換しよう. $$\begin{align} &\int^2_0x\sqrt{2-x}dx\\ \underset{微分の関係式}{=}&\int^2_0x\sqrt{2-x}\cdot(-1)d(2-x)\\ \underset{変数変換}{=}&-\int^0_2(2-t)\sqrt{t}dt\\ \underset{積分範囲の書換え}{=}&\int^2_0(2-t)\sqrt{t}dt\\ \underset{書換え}{=}&\int^2_0(2t^{\frac{1}{2}}-t^{\frac{3}{2}})dt\\ \underset{基本公式}{=}&\left[\dfrac{4}{3}t^{\frac{3}{2}}-\dfrac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}\right]^2_0\\ \underset{計算}{=}&\dfrac{8}{3}\sqrt{2}-\dfrac{8}{5}\sqrt{2}\\ \underset{計算}{=}&\dfrac{16}{15}\sqrt{2}\\ \end{align}$$ (2) 変数変換$x=3\sin t$による置換積分法で計算すれば, $$\begin{align} &\int^3_0\sqrt{9-x^2}dx\\ \underset{変数変換}{=}&\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sqrt{9-9\sin^2t}d(3\sin t)\\ \underset{微分の関係式}{=}&\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sqrt{9-9\sin^2t}\cdot 3\cos tdt\\ \underset{三角関数の公式}{=}&\int^{\dfrac{\pi}{2}}_03\cos t\cdot 3\cos tdt\\ \underset{三角関数の公式}{=}&9\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{1+\cos 2t}{2}dt\\ \underset{基本公式}{=}&9\left[\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{4}\sin 2t\right]^{\frac{\pi}{2}}_0\\ \underset{計算}{=}&\dfrac{9\pi}{4}\\ \end{align}$$
1. 不定積分の置換積分法: $$\begin{align} \int f(g(x))g^\prime(x)dx&\overset{微分の関係式}{=}\int f(g(x))d(g(x))\\ &\overset{変数変換}{=}\int f(t)dt \end{align}$$
2. 定積分の置換積分法: $$\begin{align} \int^b_a f(g(x))g^\prime(x)dx&\overset{微分の関係式}{=}\int^b_a f(g(x))d(g(x))\\ &\overset{変数変換}{=}\int^{g(b)}_{g(a)} f(t)dt \end{align}$$
次回(6,7回)は, もう一つの強力な積分計算法である $$部分積分法$$ を学ぶ.