日大工 総合教育 樋口幸治郎
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今回の主な内容は, 不定積分の線形性を導くこと, それから簡単の不定積分の計算を学ぶことである(教科書p13-14,p113-120). その前に, 微積分についての「約分」と「移行」の説明, 微分の復習をしておこう.
数学では一般に, あるモノの逆のモノを導入すると, 掛け算・割り算同様, それらのモノについて「約分」「移行」ができ, 式変形の手段が増える.
微分というモノの逆は不定積分というモノであるが, これらのモノたちについても「約分」「移行」ができる. 不定積分は $$\int f(x)dx=「微分がf(x)となる関数」+積分定数C\tag{*}$$ であったことを思い出しておこう.
$$\dfrac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)\qquad \int\left(\dfrac{d}{dx}f(x)\right)dx=f(x)+C\quad(Cは積分定数)$$ このように微積分を続けて行うと「約分」され, 互いに打ち消しあう(積分定数が生じる場合もある).
証明. $$\begin{align} &\dfrac{d}{dx}\int f(x)dx\\ \underset{(*)より}{=}&\dfrac{d}{dx}\left(「微分がf(x)である関数」+積分定数C\right)\\ =&f(x) \end{align}$$ $$\begin{align} &\int\left(\dfrac{d}{dx}f(x)\right)dx\\ \underset{書き換え}{=}&\int f^\prime(x)dx\\ \underset{(*)より}{=}&「微分がf^\prime(x)である関数」+積分定数C\\ \underset{f(x)の微分はf^\prime(x)}{=}&f(x)+積分定数C \end{align}$$
$$g(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)\qquad\overset{移行}{\iff}\qquad\int g(x)dx=f(x)+C\quad(Cは積分定数)$$ このように微積分は「移行」で互いに交換される.
証明. $$\begin{align} &g(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)\\ \underset{言い換え}{\iff}&f(x)の微分はg(x)\\ \underset{(*)より}{\iff}&\int g(x)dx=f(x)+積分定数C \end{align}$$
これらの「約分」と「移行」を微分積分の性質を互いに「輸入」(=変換)できる. 特に,
本題に入る前に, 微分の諸性質を復習しておこう. これらの多くが, 後に, 積分に「輸入」される.
定理 (積分定数は省略) $$\int(f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx$$ $$\int(kf(x))dx=k\int f(x)dx\quad(但しkは定数)$$
証明. 微分の線形性の公式を変形していくと $$\begin{align} &\dfrac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm \dfrac{d}{dx}g(x)\\ \underset{f(x),g(x)にそれらの積分を代入}{\Longrightarrow} &\dfrac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\right)=\dfrac{d}{dx}\int f(x)dx\pm \dfrac{d}{dx}\int g(x)dx\\ \underset{微積の「約分」}{\Longrightarrow} &\dfrac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\right)=f(x)\pm g(x)\\ \underset{微分の「移行」}{\Longrightarrow} &\int f(x)dx\pm \int g(x)dx+C=\int(f(x)\pm g(x))dx\qquad(Cは積分定数) \end{align}$$ 同様に $$\begin{align} &\dfrac{d}{dx}(kf(x))=k\dfrac{d}{dx}f(x)\\ \underset{f(x)にその積分を代入}{\Longrightarrow} &\dfrac{d}{dx}(k\int f(x)dx)=k\dfrac{d}{dx}\int f(x)dx\\ \underset{「約分」}{\Longrightarrow} &\dfrac{d}{dx}(k\int f(x)dx)=kf(x)\\ \underset{「移行」}{\Longrightarrow} &k\int f(x)dx+C=\int kf(x)dx\qquad(Cは積分定数) \end{align}$$
(1) $\displaystyle\int(2x^3-3x^2)dx$ (2)$\displaystyle\int(x-3)(2x+1)dx$
答. (1)
$$\begin{align}
&\int(2x^3-3x^2)dx\\
\underset{線形性}{=}&\int 2x^3dx-\int 3x^2dx\\
\underset{線形性}{=}&2\int x^3dx-3\int x^2dx\\
\underset{積分}{=}&2\cdot\dfrac{1}{4}x^4-3\cdot\dfrac{1}{3} x^3+C\\
=&\dfrac{1}{2}x^4-x^3+C\quad(Cは積分定数)
\end{align}$$
(慣れてきたら, 2行目の変形は省略しよう.)
(2)
$$\begin{align}
&\int(x-3)(2x+1)dx\\
=&\int(2x^2-5x-3)dx\\
\underset{線形性}{=}&2\int x^2dx-5\int xdx-3\int dx\\
\underset{積分}{=}&2\cdot\dfrac{1}{3}x^3-5\cdot\dfrac{1}{2} x^2-3\cdot x+C\\
=&\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2-3x+C\quad(Cは積分定数)
\end{align}$$
(慣れてきたら, 3行目の変形も省略しよう.)
$$F^\prime(x)=6x^2-4x-5,\qquad F(2)=2$$ を満たす関数$F(x)$を求めなさい.
答. $$\begin{align} &F^\prime(x)=6x^2-4x-5\\ \underset{両辺を積分}{\Longrightarrow}&F(x)=\int(6x^2-4x-5)dx\\ \underset{右辺を計算}{\Longrightarrow}&F(x)=2x^3-2x^2-5x+C\\ \underset{条件F(2)=2より}{\Longrightarrow}&2=2\cdot 2^3-2\cdot 2^2-5\cdot 2+C\\ \underset{Cについて解く}{\Longrightarrow}&C=4\\ \underset{CをF(x)の式に代入}{\Longrightarrow}&F(x)=2x^3-2x^2-5x+4 \end{align}$$
定数$a$に対する冪関数$x^a$の積分は,
(i) $a\ne -1$なら$\displaystyle\int x^adx=\dfrac{1}{a+1}x^{a+1}+C$
(ii) $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\log|x|+C$
注意. $\log x$と$\log|x|$はどちらも微分は$\dfrac{1}{x}$であるが,
積分の答えとしては, 定義域の広い$\log|x|$とした方が, 後に学ぶ定積分などへの応用上都合が良い.
証明. 実際, それぞれの右辺を微分すれば, 左辺の被積分関数になる.
(1) $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^3}dx=?$ (2) $\displaystyle\int \sqrt[3]{x}dx=?$
答. (1) $$\begin{align} &\int\dfrac{1}{x^3}dx\\ \underset{書き換え}{=}&\int x^{-3}dx\\ \underset{[III](i)}{=}&-\dfrac{1}{2}x^{-2}+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\int \sqrt[3]{x}dx\\ \underset{書き換え}{=}&\int x^{\frac{1}{3}}dx\\ \underset{[III](i)}{=}&\dfrac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$
(i) $\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$
(ii) $\displaystyle\int \sin xdx=-\cos x+C$
(iii) $\displaystyle\int \cos xdx=\sin x+C$
(iv) $\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$
証明. 実際, それぞれの右辺を微分すれば, 左辺の被積分関数になる.
(1) $\displaystyle\int(2\cos x-3e^x)dx=?$ (2) $\displaystyle\int\tan^2xdx=?$
答. (1) $$\begin{align} &\int(2\cos x-3e^x)dx\\ \underset{線形性}{=}&2\int\cos x-3\int e^xdx\\ \underset{[IV]}{=}&2\sin x-3e^x+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\int \tan^2xdx\\ \underset{三角関数の公式}{=}&\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\\ \underset{線形性}{=}&\int \dfrac{1}{\cos^2x}dx-\int dx\\ \underset{[IV]}{=}&\tan x-x+C\quad(Cは積分定数) \end{align}$$
(i) $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$ (ii) $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
証明. 実際, それぞれの右辺を微分すれば, 左辺の被積分関数になる.
1. 微積分の「約分」「移行」の成立: $$\dfrac{d}{dx}\int f(x)dx\overset{約分}{=}f(x);\qquad\int\left(\dfrac{d}{dx}f(x)\right)dx\overset{約分}{=}f(x)+C$$ $$g(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)\qquad\overset{移行}{\iff}\qquad\int g(x)dx=f(x)+C$$
2. 積分は線形性を持つ: $$\int(f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx;\qquad \int(kf(x))dx=k\int f(x)dx$$
3. 冪, 指数, (逆)三角関数についての積分公式を学んだ.
次回は, 面積から定まる定積分が, 不定積分と密接な関係にあることを学ぶ.
予習として,
次回使う差の記号
$$\Big[F(x)\Big]^b_a=F(b)-F(a)$$
について,
以下の性質が成立することを確認しておこう.
差の記号は線形性を持つ:
$$\Big[F(x)\pm G(x)\Big]^b_a=\Big[F(x)\Big]^b_a\pm\Big[G(x)\Big]^b_a
\qquad\Big[kF(x)\Big]^b_a=k\Big[F(x)\Big]^b_a\quad(kは定数)$$
また, 次が成り立つ:
$$\Big[F(x)\Big]^b_a=\Big[F(x)\Big]^c_a+\Big[F(x)\Big]^b_c$$
$$\Big[F(x)+C\Big]^b_a=\Big[F(x)\Big]^b_a\quad(Cは定数)$$
教科書p17-18のAの1-3, Bの1-3の中から10問以上選択して解きなさい.