日大工　総合教育　樋口幸治郎

統計学(2017年度前期)

第13回　推定　

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区間推定

• 母平均の区間推定(p214-p221)

定理  母平均$\mu$が未知, 母分散$\sigma^2$が既知の 正規母集団からの 無作為標本を$X_1,X_2,\cdots,X_n$とする. このとき, 任意の$0\le\alpha\le 1$に対し, $$\overline{X}-z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \overline{X}+z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ となる確率は$1-\alpha$で与えられる. 但し, $\overline{X}=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$, $z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$は 上側$\dfrac{\alpha}{2}$点とする.

証明  示すべきは $$ P\left(\left|\overline{X}-\mu\right|\le z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =1-\alpha $$ である. $X_1,X_2,...,X_n$は互いに独立な 正規分布$N(\mu,\sigma^2)$ に従う確率変数 なので, 中心極限定理より, 標本平均$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$は 正規分布$N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$に従い, よってまた, $Z=\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}$は 標準正規分布$N(0,1)$に従う. 従って, 上側$\dfrac{\alpha}{2}$点$z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$に対して, $$P\left(|Z|\le z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\right)=1-\alpha$$ である. これを$\overline{X}$を用いて書き直せば, $$1-\alpha =P\left(\left|\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}\right|\le z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\right) =P\left(\left|\overline{X}-\mu\right|\le z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) $$ を得る.

定理  母平均$\mu$, 母分散$\sigma^2$が共に未知の母集団からの無作為標本を$X_1,X_2,\cdots,X_n$とする. このとき, $n$が十分大きければ, 不偏分散を$U^2$とすれば, 任意の$0\le\alpha\le 1$に対し, $$\overline{X}-z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\dfrac{U}{\sqrt{n}} \le \mu \le \overline{X}+z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\dfrac{U}{\sqrt{n}}$$ となる確率は$1-\alpha$で与えられる. 但し, $\overline{X}=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$, $z\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$は上側$\dfrac{\alpha}{2}$点とする.