日大工　総合教育　樋口幸治郎

微分方程式(2017年度後期)

第12,13回　2階定係数非同次微分方程式

前頁へ

次頁へ

初めに

• 今回の内容

今回(第12,13回)の主な内容は, 2階定係数非同次微分方程式の解法を学ぶことである(教科書p78-93).

2階定係数非同次微分方程式

• 非同次式と同次式の解の関係(復習)

$$非同次式 y^{\prime\prime}+ay^\prime+by=g(x)\tag{1}$$ $$同次式 y^{\prime\prime}+ay^\prime+by=0\tag{2}$$ について, $$非同次式(1)の一般解y = 非同次式(1)の特殊解y_p + 同次式(2)の一般解y_h$$ と表される.

前回, 同次式(2)の一般解の求め方を学んだ. そこで, 非同次式(1)の特殊解$y_p$の求め方が分かれば, 非同次式(1)の一般解$y$も求まることになる.

• 非同次式の特殊解の見つけ方

(1)の特殊解の見つけ方を3つの方法を紹介する:

1. 場当たり的に見つける(=未定係数法)

2. 定数変化法で求める

3. 2の方法で求まる公式を覚える(教科書p88)

• 未定係数法(p79)

非同次式(1)の右辺$g(x)$の形が単純であれば, 非同次式(1)の特殊解$y_p$を場当たり的に予想して見つけることができる. $g(x)$の幾つかのタイプに応じて, 教科書p79の表のように特殊解$y_p$の形を予想して, それを求める方法を未定係数法という.

• 例題

p80例題23. 次の非同次式の一般解を求めなさい. 但し, 非同次式の特殊解$y_p$はカッコの中の形と予想して解いて良い.
(1) $y^{\prime\prime}+3y^\prime+2y=x\quad$ ($y_p=A_1x+A_0$)
(2) $y^{\prime\prime}-2y^\prime=6\quad$ ($y_p=A_0x$)

答.  (1) まず同次式 $$y^{\prime\prime}+3y^\prime+2y=0$$ の一般解$y_h$を求める. 特性方程式は$$\lambda^2+3\lambda+2=(\lambda+2)(\lambda+1)=0$$ であるから, $\lambda=-2,-1$が特性方程式の解なので, 同次式の一般解 $$y_h=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ が求まる. 次に, 非同次式の特殊解$y_p$を求める. $y_p=A_1x+A_0$とおいて, 非同次式に代入すれば $$\begin{align} &(A_1x+A_0)^{\prime\prime}+3(A_1x+A_0)^\prime+2(A_1x+A_0)=x\\ \underset{計算}{\Longrightarrow}&2A_1x+(3A_1+2A_0)=x \end{align}$$ となる. 両辺の係数を比較することで$A_1=\dfrac{1}{2}$, $A_0=-\dfrac{3}{4}$が求まる. 故に $$y_p=A_1x+A_0=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}$$ であり, 非同次式の一般解$y$は $$y=y_h+y_p=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ (2) まず同次式 $$y^{\prime\prime}-2y^\prime=0$$ の一般解$y_h$を求める. 特性方程式は$$\lambda^2-2\lambda=\lambda(\lambda-2)=0$$ であるから, $\lambda=0,2$が特性方程式の解なので, 同次式の一般解 $$y_h=C_1e^{0x}+C_2e^{2x}=C_1+C_2e^{2x}\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ が求まる. 次に, 非同次式の特殊解$y_p$を求める. $y_p=A_0x$とおいて, 非同次式に代入すれば $$\begin{align} &(A_0x)^{\prime\prime}-2(A_0x)^\prime=6\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}&-2A_0=6 \underset{計算}{\Longrightarrow}&A_0=-3 \end{align}$$ となる. 故に $$y_p=A_0x=-3x$$ であり, 非同次式の一般解$y$は $$y=y_h+y_p=C_1+C_2e^{2x}-3x\quad(C_1,C_2は任意定数)$$

p82例題24. 次の非同次式の一般解を求めなさい. 但し, 非同次式の特殊解$y_p$はカッコの中の形と予想して解いて良い.
(1) $y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=e^{-x}\quad$ ($y_p=A_0e^{-x}$)
(2) $y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=2xe^x\quad$ ($y_p=x(A_1x+A_0)e^x$)

答.  (1) まず同次式 $$y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0$$ の一般解$y_h$を求めると, $$y_h=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ である. 次に, 非同次式の特殊解$y_p$を求める. $y_p=A_0e^{-x}$とおいて, 非同次式に代入すれば $$\begin{align} &(A_0e^{-x})^{\prime\prime}-3(A_0e^{-x})^\prime+2A_0e^{-x}=e^{-x}\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}&A_0e^{-x}+3A_0e^{-x}+2A_0e^{-x}=e^{-x}\\ \underset{計算}{\Longrightarrow}&6A_0=1\\ \underset{計算}{\Longrightarrow}&A_0=\dfrac{1}{6}\\ \end{align}$$ 故に $$y_p=A_0e^{-x}=\dfrac{1}{6}e^{-x}$$ であり, 非同次式の一般解$y$は $$y=y_h+y_p=C_1e^{x}+C_2e^{2x}+\dfrac{1}{6}e^{-x}\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ (2) まず同次式 $$y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0$$ の一般解$y_h$は(1)と同様 $$y_h=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ である. 次に, 非同次式の特殊解$y_p$を求める. $y_p=x(A_1x+A_0)e^x$とおいて, 非同次式に代入すれば $$\begin{align} &(x(A_1x+A_0)e^x)^{\prime\prime}-3(x(A_1x+A_0)e^x)^\prime+2x(A_1x+A_0)e^x=2xe^x\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}& (A_1x^2+(4A_1+A_0)x+2A_1+2A_0)e^x-3(A_1x^2+(2A_1+A_0)x+A_0)e^x+2(A_1x^2+A_0x)e^x=2xe^x\\ \underset{計算}{\Longrightarrow}&(A_1-3A_1+2A_1)x^2+((4A_1+A_0)-3(2A_1+A_0)+2A_0)x+(2A_1+2A_0)-3A_0=2x\\ \underset{計算}{\Longrightarrow}&-2A_1x+2A_1-A_0=2x\\ \underset{係数比較}{\Longrightarrow}&A_1=-1\quad A_0=-2\\ \end{align}$$ 故に $$y_p=x(A_1x+A_0)e^x=x(-x-2)e^x$$ であり, 非同次式の一般解$y$は $$y=y_h+y_p=C_1e^{x}+C_2e^{2x}+x(-x-2)e^x\quad(C_1,C_2は任意定数)$$

p84例題25. 次の非同次式の一般解を求めなさい. 但し, 非同次式の特殊解$y_p$はカッコの中の形と予想して解いて良い.
(1) $y^{\prime\prime}+y=\sin 2x\quad$ ($y_p=A\cos 2x+B\sin 2x$)
(2) $y^{\prime\prime}+y=\sin x\quad$ ($y_p=x(A\cos x+B\sin x)$)

答.  (1) まず同次式 $$y^{\prime\prime}+y=0$$ の一般解$y_h$を求める. 特性方程式$\lambda^2+1=0$の解は$\lambda=\pm i$であるから, 同次式の一般解$y_h$は $$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ である. 次に, 非同次式の特殊解$y_p$を求める. $y_p=A\cos 2x+B\sin 2x$とおいて, 非同次式に代入すれば $$\begin{align} &(A\cos 2x+B\sin 2x)^{\prime\prime}+(A\cos 2x+B\sin 2x)=\sin 2x\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}&-4A\cos 2x-4B\sin 2x+A\cos 2x+B\sin 2x=\sin 2x\\ \underset{整理}{\Longrightarrow}&-3A\cos 2x-3B\sin 2x=\sin 2x\\ \underset{係数比較}{\Longrightarrow}&A=0\quad B=-\dfrac{1}{3}\\ \end{align}$$ 故に $$y_p=A\cos 2x+B\sin 2x=-\dfrac{1}{3}\sin 2x$$ であり, 非同次式の一般解$y$は $$y=y_h+y_p=C_1\cos x+C_2\sin x-\dfrac{1}{3}\sin 2x\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ (2) 同次式の一般解$y_h$は(1)と同様 $$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ である. 次に, 非同次式の特殊解$y_p$を求める. $y_p=x(A\cos x+B\sin x)$とおいて, 非同次式に代入すれば $$\begin{align} &(x(A\cos x+B\sin x))^{\prime\prime}+x(A\cos x+B\sin x)=\sin x\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}&(-Ax+2B)\cos x+(-Bx-2A)\sin x)+x(A\cos x+B\sin x)=\sin x\\ \underset{整理}{\Longrightarrow}&2B\cos x-2A\sin x=\sin x\\ \underset{係数比較}{\Longrightarrow}&A=-\dfrac{1}{2}\quad B=0\\ \end{align}$$ 故に $$y_p=x(A\cos x+B\sin x)=-\dfrac{1}{2}x\cos x$$ であり, 非同次式の一般解$y$は $$y=y_h+y_p=C_1\cos x+C_2\sin x-\dfrac{1}{2}x\cos x\quad(C_1,C_2は任意定数)$$

p86例題26. 次の非同次式の一般解を求めなさい. 但し, 非同次式の特殊解$y_p$はカッコの中の形と予想して解いて良い.
$y^{\prime\prime}-2y^\prime+2y=e^x\cos 2x\quad$ ($y_p=e^x(A\cos 2x+B\sin 2x)$)

答.  まず同次式 $$y^{\prime\prime}-2y^\prime+2y=0$$ の一般解$y_h$を求める. 特性方程式$\lambda^2-2\lambda+2=0$の解は$\lambda=1\pm i$であるから, 同次式の一般解$y_h$は $$y_h=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ である. 次に, 非同次式の特殊解$y_p$を求める. $y_p=e^x(A\cos 2x+B\sin 2x)$とおいて, 非同次式に代入すれば $$\begin{align} &(e^x(A\cos 2x+B\sin 2x))^{\prime\prime}-2(e^x(A\cos 2x+B\sin 2x))^\prime+2e^x(A\cos 2x+B\sin 2x)=e^x\cos 2x\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}& e^x((-3A+4B)\cos 2x+(-4A-3B)\sin 2x)-2e^x((A+2B)\cos 2x+(-2A+B)\sin 2x)+2e^x(A\cos 2x+B\sin 2x)=e^x\cos 2x\\ \underset{整理}{\Longrightarrow}& -3A\cos 2x-3B\sin 2x=\cos 2x\\ \underset{係数比較}{\Longrightarrow}&A=-\dfrac{1}{3}\quad B=0\\ \end{align}$$ 故に $$y_p=e^x(A\cos 2x+B\sin 2x)=-\dfrac{1}{3}e^x\cos 2x$$ であり, 非同次式の一般解$y$は $$y=y_h+y_p=e^x\left(C_1\cos x+C_2\sin x-\dfrac{1}{3}\cos 2x\right)\quad(C_1,C_2は任意定数)$$

• 定数変化法(p88)

$$非同次式 y^{\prime\prime}+ay^\prime+by=g(x)$$ $$同次式 y^{\prime\prime}+ay^\prime+by=0$$ について, 同次式の一般解$y_h$が, 基本解$y_1(x),y_2(x)$を用いて $$y_h=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ と表されるとする. このとき, 非同次式の特殊解$y_p$を $$y_p=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)\quad(C_1(x),C_2(x)は関数)$$ とおいて求める方法を定数変化法という.

$y_p$を非同次式に代入して変形していくと $$\begin{align} \underset{非同次式に代入}{\Longrightarrow}&(C_1y_1+C_2y_2)^{\prime\prime}+a(C_1y_1+C_2y_2)^\prime+b(C_1y_1+C_2y_2)=g(x)\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}& C_1(y_1^{\prime\prime}+ay_1^\prime+by_1)+ C_2(y_2^{\prime\prime}+ay_2^\prime+by_2)+ (C_1^\prime y_1+C_2^\prime y_2)^{\prime}+(C_1^\prime y_1^\prime +C_2^\prime y_2^\prime)+a(C_1^\prime y_1+C_2^\prime y_2)=g(x)\\ \underset{y_1,y_2は同次式の解}{\Longrightarrow}& (C_1^\prime y_1+C_2^\prime y_2)^{\prime}+(C_1^\prime y_1^\prime +C_2^\prime y_2^\prime)+a(C_1^\prime y_1+C_2^\prime y_2)=g(x)\\ \underset{並び替え}{\Longrightarrow}& (C_1^\prime y_1^\prime +C_2^\prime y_2^\prime)+a(C_1^\prime y_1+C_2^\prime y_2)+(C_1^\prime y_1+C_2^\prime y_2)^{\prime}=g(x)\\ \end{align}$$ となる. そこで, 連立方程式 $$\begin{cases} C_1^\prime(x)y_1^\prime(x)+C_2^\prime(x)y_2^\prime(x)=g(x)\\ C_1^\prime(x)y_1(x)+C_2^\prime(x)y_2(x)=0\\ \end{cases}$$ を満たす関数$C_1(x),C_2(x)$があれば, $y_p$が実際に非同次式の特殊解になることが分かる. この連立方程式は, 連立1次方程式の解法を用いて, $$\begin{cases} C_1^\prime(x)=-\dfrac{y_2(x)g(x)}{y_1(x)y_2^\prime(x)-y_2(x)y_1^\prime(x)}=-\dfrac{y_2(x)g(x)}{W(y_1,y_2)}\\ C_2^\prime(x)=\dfrac{y_1(x)g(x)}{y_1(x)y_2^\prime(x)-y_2(x)y_1^\prime(x)}=\dfrac{y_1(x)g(x)}{W(y_1,y_2)} \end{cases}$$ となり($W(y_1,y_2)$はロンスキー行列式である), 積分することで, $$\begin{cases} C_1(x)=\displaystyle-\int\dfrac{y_2(x)g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\\ C_2(x)=\displaystyle\int\dfrac{y_1(x)g(x)}{W(y_1,y_2)}dx \end{cases}$$ が得られる.

非同次式の一般解$y$は $$\begin{align} y&=y_p+y_h\\ &=-\left(\int\dfrac{y_2g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_1+\left(\int\dfrac{y_1g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_2+C_1y_1+C_2y_2\quad(C_1,C_2は任意定数)\\ &=-\left(\int\dfrac{y_2g(x)}{W(y_1,y_2)}dx-C_1\right)y_1 +\left(\int\dfrac{y_1g(x)}{W(y_1,y_2)}dx+C_2\right)y_2\quad(C_1,C_2は任意定数)\\ &=-\left(\int\dfrac{y_2g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_1 +\left(\int\dfrac{y_1g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_2\\ \end{align}$$ となる. (最後の変形では不定積分の中に任意定数を吸収させた.) まとめると, 以下の公式が得られた.

• 非同次式の一般解の公式(p88)

定理  $$非同次式 y^{\prime\prime}+ay^\prime+by=g(x)$$ $$同次式 y^{\prime\prime}+ay^\prime+by=0$$ について, 同次式の基本解が$y_1,y_2$であるとき, 非同次式の一般解$y$は $$y=-\left(\int\dfrac{y_2g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_1 +\left(\int\dfrac{y_1g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_2$$ で与えられる. (但し, それぞれの積分の計算では別々の積分定数を付ける.)

• 例題

p90例題27. 次の微分方程式を解きなさい.
(1) $y^{\prime\prime}-2y^\prime=6$  (2) $y^{\prime\prime}+3y^\prime+2y=x$ 

答.  (1) 同次式の一般解$y_h$は $$y_h=C_1+C_2e^{2x}\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ であり, その基本解は$y_1=1$と$y_2=e^{2x}$である. ロンスキー行列式$W(y_1,y_2)$を計算すると $$W(y_1,y_2)=1\cdot 2e^{2x}-e^{2x}\cdot 0=2e^{2x}$$ である. よって, 非同次式の一般解$y$は, 公式から $$\begin{align} y&=-\left(\int\dfrac{y_2g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_1 +\left(\int\dfrac{y_1g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_2\\ &=-\left(\int\dfrac{e^{2x}\cdot 6}{2e^{2x}}dx\right)\cdot 1 +\left(\int\dfrac{1\cdot 6}{2e^{2x}}dx\right)\cdot e^{2x}\\ &=-3\int dx +\left(3\int e^{-2x}dx\right)\cdot e^{2x}\\ &=-3(x+C_1) +3\left(-\dfrac{1}{2}e^{-2x}+C_2\right)\cdot e^{2x}\\ &=-3x+C_3 -\dfrac{3}{2}+C_4e^{2x}\\ &=-3x+C_5+C_4e^{2x}\quad(C_1-C_5は任意定数) \end{align}$$ (2) 同次式の一般解$y_h$は $$y_h=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ であり, その基本解は$y_1=e^{-2x}$と$y_2=e^{-x}$である. ロンスキー行列式$W(y_1,y_2)$を計算すると $$W(y_1,y_2)=e^{-2x}\cdot (-e^{-x})-e^{-x}\cdot (-2e^{-2x})=e^{-3x}$$ である. よって, 非同次式の一般解$y$は, 公式から $$\begin{align} y&=-\left(\int\dfrac{y_2g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_1 +\left(\int\dfrac{y_1g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_2\\ &=-\left(\int\dfrac{e^{-x}\cdot x}{e^{-3x}}dx\right)\cdot e^{-2x} +\left(\int\dfrac{e^{-2x}\cdot x}{e^{-3x}}dx\right)\cdot e^{-x}\\ &=-\left(\int xe^{2x}dx\right)\cdot e^{-2x} +\left(\int xe^{x}dx\right)\cdot e^{-x}\\ &\underset{部分積分}{=}-\left(\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+C_1\right)\cdot e^{-2x} +\left(xe^{x}-e^x+C_2\right)\cdot e^{-x}\\ &=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}x+C_3e^{-2x}+x-1+C_2e^{-x}\\ &=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}x+C_2e^{-x}+C_3e^{-2x}\quad(C_1-C_3は任意定数) \end{align}$$

p92例題28. $y^{\prime\prime}+y=\sin 2x$を解きなさい.

答.  同次式の一般解$y_h$は $$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x\quad(C_1,C_2は任意定数)$$ であり, その基本解は$y_1=\cos x$と$y_2=\sin x$である. ロンスキー行列式$W(y_1,y_2)$を計算すると $$W(y_1,y_2)=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)=1$$ である. よって, 非同次式の一般解$y$は, 公式から $$\begin{align} y&=-\left(\int\dfrac{y_2g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_1 +\left(\int\dfrac{y_1g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_2\\ &=-\left(\int\dfrac{\sin x\cdot \sin 2x}{1}dx\right)\cdot \cos x +\left(\int\dfrac{\cos x\cdot \sin 2x}{1}dx\right)\cdot \sin x\\ &\underset{三角関数の変形}{=}-2\left(\int\sin^2 x\cos xdx\right)\cdot \cos x +2\left(\int \cos^2 x\sin xdx\right)\cdot \sin x\\ &\underset{置換積分}{=}-2\left(\dfrac{1}{3}\sin^3x+C_1\right)\cdot \cos x +2\left(-\dfrac{1}{3}\cos^3x+C_2\right)\cdot \sin x\\ &=-\dfrac{2}{3}\sin x\cos x(\sin^2x+\cos^2x)+C_3\cos x+C_4\sin x\\ &\underset{三角関数の変形}{=}-\dfrac{1}{3}\sin 2x+C_3\cos x+C_4\sin x\quad(C_1-C_4は任意定数) \end{align}$$

終わりに

• 今回の要点

1. 非同次式の一般解$y$ = 非同次式の特殊解$y_p$ + 同次式の一般解$y_h$

2. 非同次式の特殊解は未定係数法や定数変化法で求まる.

3. 定数変化法から非同次式の一般解$y$の公式は, 同次式の基本解$y_1,y_2$を用いて $$y=-\left(\int\dfrac{y_2g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_1 +\left(\int\dfrac{y_1g(x)}{W(y_1,y_2)}dx\right)y_2$$

• 課題

p80-87の練習問題23-26から4問以上解きなさい. また, p100の総合練習3の中から2問以上解きなさい.




---