定義
$F_2$を$a,b$で生成される自由群とし, 単位元を$1$で表す. また, $F_2$の要素を$a,a^{-1},b,b^{-1}$の積として"標準形"で表した文字列と同一視する.

例.   $ba$, $aab=a^2b$, $aaba^{-1}b^{-1}b^{-1}=a^2ba^{-1}b^{-2}$はどれも"標準形", $bb^{-1}a$, $a^2a^{-2}$は"標準形"ではなく, これらの"標準形"はそれぞれ$a$, $1$である.

定義
$\sigma\in F_2$に対し, $S(\sigma):=\big\{\tau:\tau$は文字列$\sigma$から始まる文字列$\big\}$.

注意.   「$A:=B$」という表記はAをBで定めると読む.

補題
$F_2=\{1\}\sqcup S(a)\sqcup S(a^{-1})\sqcup S(b)\sqcup S(b^{-1}) =S(a)\sqcup aS(a^{-1})=S(b)\sqcup bS(b^{-1})$

注意.   記号「$\sqcup$」は和集合を表すのみならず交わりのないことも含意する. 例えば主張$A=B\sqcup C$は$A$は$B$と$C$の和集合$B\cup C$であり, かつ, $B$と$C$の共通部分は空集合という意味.

補題
$\{\sin n\alpha:n\in\mathbb{N}\}$が$\mathbb{Q}$上線形独立となる実数$\alpha$が存在する.

証明.   方程式 $$k_0+k_1\sin x+k_2\sin 2x+\cdots+k_n\sin nx=0$$ について($k_n\ne 0$), 閉区間$[0,1]$での解は有限個となる. 何故なら, もしもそうでなければ, 方程式の解の集積点が$[0,1]$にあり, 一致の定理から左辺の正則関数$\equiv 0$となり, $k_n\ne 0$に反するから. 上記の方程式の種類は可算個なので, 上記のような方程式の解には決してならない$\alpha$が存在する.

定義
空間において, $R_a$,$R_b$はそれぞれx軸,z軸周りの$\alpha$ラジアン回転(ここで$\alpha$は上記の補題の実数)を表す. さらに, これから自然に定まる$\sigma\in F_2$に対する回転も$R_\sigma$で表す.

注意.   回転$R_{a^m},R_{b^n}$を標準基底により行列表示すれば, それぞれ $$ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos m\alpha & \sin m\alpha \\ 0 & -\sin m\alpha & \cos m\alpha \end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{ccc} \cos n\alpha & \sin n\alpha & 0 \\ -\sin n\alpha & \cos n\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] $$ となる.

補題
$\sigma\mapsto R_\sigma$は, 群$F_2$から回転のなす群の中への単射準同型写像である(単射性のみ要思考).

注意.   この補題の以後は$F_2$の要素$\sigma$と$R_\sigma$を同一視する.

証明.   $\sigma\in F_2\setminus\{1\}$を固定する. $R_\sigma\ne R_1$を示せば良い. $R_{a^m},R_{b^m}\ne R_1$は明らか. そうでないとき, 議論の対称性から一般性を失うことなく$\sigma$は $$\sigma=\cdots a^{m_2}b^{n_2}a^{m_1}b^{n_1}$$ という標準形をしていると仮定してよい. 三角関数の基本的な公式 $$\sin A\cos B=\dfrac{1}{2}(\sin(A+B)+\sin(A-B)),\quad \cos A\cos B=\dfrac{1}{2}(\cos(A+B)+\cos(A-B)),\quad \sin A\sin B=-\dfrac{1}{2}(\cos(A+B)-\cos(A-B)) $$ や$\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$といった公式を思い出せば, 空間上の点$P(1,0,0)$を, 順に回転$R_{b^{n_1}}$, $R_{a^{m_1}}$, $R_{b^{n_2}}$, $R_{a^{m_2}}$, $\cdots$によって変換していくと, 交互に $$\left(\sum_{i\le N}p_i\cos i\alpha,\sum_{i\le N}q_i\sin i\alpha,\sum_{i<N}r_i\cos i\alpha\right),\qquad \left(\sum_{i<N}p_i\cos i\alpha,\sum_{i\le N}q_i\sin i\alpha,\sum_{i\le N}r_i\cos i\alpha\right) $$ という形に表される点に移る(但し, $N$は自然数, $p_i,q_i,r_j$は有理数かつ$q_N\ne0$). $\alpha$の取り方から第2座標は決して$0$にはならないので, $R_\sigma(P)\ne P=R_1(P)$である.

定理(要選択公理)
単位球面$B$に対し, $B={}^\exists M\sqcup S(a)M\sqcup S(a^{-1})M\sqcup S(b)M\sqcup S(b^{-1})M\sqcup{}^\exists Q$ s.t. $Q$は可算集合.

注意.   補題3から$S(a)M\sqcup aS(a^{-1})M\sqcup Q=B=S(b)M\sqcup bS(b^{-1})M\sqcup Q$が成り立つ(ハウスドルフのパラドクス).

証明.   $Q:=\{x\in B :({}^\exists\sigma\in F_2\setminus\{1\})[\sigma x=x]\}$と定め, $M$を$F_2$の軌道による球面$S$の分割の完全代表系からQの要素を取り除いた集合とすれば良い.

定義
$X\approx Y :\iff$ 有限分割$X=X_1\sqcup\cdots\sqcup X_n$, $Y=Y_1\sqcup\cdots\sqcup Y_n$が存在して, $X_i$と$Y_i$は合同.
$X\lessapprox Y :\iff$ $X\approx {}^\exists Z\subset Y$.

注意.   「$P:\iff Q$」は, 条件$P$を条件$Q$で定義すると読む.

補題
$\approx$は同値関係であり, $\lessapprox$は擬順序関係である(推移性のみ要思考).

補題(カントール・ベルンシュタインの定理のバナハによる拡張)
$X\lessapprox Y\lessapprox X$ならば$X\approx Y$

証明.   $F=\bigsqcup_{i\le n}f_i:X\to Y$, $G=\bigsqcup_{i\le m}g_i:Y\to X$を全単射写像で, 各$f_i,g_i$は合同変換であるとする. $X$の部分集合$S$を $S=(\mu S\supset(X\setminus G(Y)))[GF(S)\subset S]$と定める. すると, 全単射関数$(F\upharpoonright S)\sqcup (G^{-1}\upharpoonright (X\setminus S)):X\to Y$によって$X\approx Y$が分かる.

注意.   証明中での表記法$(\mu A)[...A...]$は, 条件$...A...$を満たす最小の$A$を表す.

定義
単位球面$B$上の点の集合$X$に対し, $X^\prime$で, 球面$B$への射影が$X$の要素になるような単位閉球$U$上の(原点を除く)点全体の集合を表す.

タルスキ・バナハのパラドクス
単位閉球$U$に対し, ${}^\exists X\approx U,{}^\exists Y\approx U$ s.t. $U=X\sqcup Y$.

証明.   $c$を単位閉球$U$の中心とする. 定理7での$M,Q$を用いて, $$X=S(a)M^\prime\sqcup S(a^{-1})M^\prime\sqcup Q^\prime\sqcup\{c\},\qquad Y=U\setminus X=M^\prime\sqcup S(b)M^\prime\sqcup S(b^{-1})M^\prime$$と定める. まず, 定理7での注意から $$X\ =\ S(a)M^\prime\sqcup S(a^{-1})M^\prime\sqcup Q^\prime\sqcup\{c\}\ \approx\ S(a)M^\prime\sqcup aS(a^{-1})M^\prime\sqcup Q^\prime\sqcup\{c\}\ =\ B^\prime\sqcup \{c\}\ =\ U$$を得る. 後は$X\approx Y$を示せば良いが, $Y\lessapprox U\approx X$なので, $X\lessapprox Y$を示せば十分である. $$ X\ =\ (S(a)M^\prime\sqcup S(a^{-1})M^\prime)\sqcup Q^\prime\sqcup\{c\}\ \lessapprox \ (S(b)M^\prime\sqcup S(b^{-1})M^\prime)\oplus(F_2M^\prime)\oplus M^\prime $$ が成り立つ, ここで, $Q^\prime\lessapprox F_2M^\prime$は, $Q$が可算なので($F_2$の要素以外の)ある回転$R$で$RQ\subset F_2M$になることから分かる. さらに補題3より, $$ S(b)M^\prime\sqcup S(b^{-1})M^\prime \ \approx\ (S(b)M^\prime\sqcup S(b^{-1})M^\prime)\oplus (S(a)M^\prime\sqcup S(a^{-1})M^\prime)\oplus M^\prime \ \approx\ (S(b)M^\prime\sqcup S(b^{-1})M^\prime)\oplus (F_2M^\prime)\oplus M^\prime $$ なので, $$ X \lessapprox (S(b)M^\prime\sqcup S(b^{-1})M^\prime)\oplus(F_2M^\prime)\oplus M^\prime \approx S(b)M^\prime\sqcup S(b^{-1})M^\prime \subset Y $$ が成り立ち, $X\lessapprox Y$が分かる.